גיאומטריה והדמיון (CHEL/87.H) (AMS צ'לסי הוצאה) על ידי דויד הילברט

ספר יוצא דופן זה החזיק מעמד כיצירת מופת אמיתית של אקספוזיציה מתמטית. יש כמה ספרי מתמטיקה שהם עדיין כל כך נרחבים לקרוא וימשיכו להיות כל כך הרבה מה להציע - לאחר יותר מחצי מאה! הספר גדוש ברעיונות מתמטיים, שתמיד הסבירו בבירור ואלגנטיות, ומעל לכל, עם תובנה חודרת. זה אושר לקריאה, גם למתחילים ומתמטיקאים מנוסים. "הילברט וקון-Vossen" מלא בעובדות מעניינות, שרבים מכם רוצים שידעת קודם, או שתהיתי היכן הם יכולים למצוא. הספר מתחיל עם דוגמאות לעקומות והמשטחים הפשוטים ביותר, כולל מבני חוט של quadrics מסוים ומשטחים אחרים. הפרק על מערכות רגילות של נקודות מביא לקבוצות קריסטלוגרפיים והפאונים הרגילים ב\ $ mathbb {ר} ^ 3 $. בפרק זה, הם גם לדון סריגי מטוס. על ידי שוקלים סריגי יחידה, וזריקה בכמות קטנה של התורה מספרים בעת צורך, הם מאמץ להפיק הסדרה של לייבניץ: $ \ pi / 4 = 1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + - \ ldots $. בקטע על סריגים בשלושה ממדים ועוד, המחברים לשקול בעיות תחום-אריזה, כולל מפורסם בעית קפלר. אחד הפרקים המרשימים ביותר הוא "תצורות השלכתית". בסעיף מבוא קצר, הילברט וקון-Vossen לתת אולי התיאור התמציתי והבהיר ביותר של למה geometer בכלל הייתי אכפת הטלי גיאומטריה ולמה התקנה כזו היא לכאורה פשוטה באמת עשיר במבנה וברעיונות. כאן, אנו רואים פאונים רגילים שוב, מנקודת מבט שונה. אחת מנקודתי השיא של הפרק הוא הדיון בששת פעמים של Schlafli, מה שמוביל לתיאור של 27 קווים על המשטח החלק מעוקב הכללי. כפי שנכון לכל אורך הספר, הציורים מרהיב בפרק זה אין ערוך לסייע לקורא. קטע מסקרן במיוחד בפרק על הגיאומטריה משתנית הוא אחד עשרה מאפיינים של הכדור. אשר 11 מאפיינים של אובייקט מתמטי בכל מקום כזה נתפס העין בוחן ולמה? רבים מתמטיקאים מכירים את המודלים המגבסים של משטחים הנמצאים במחלקות רבות במתמטיקה. הספר כולל תמונות של חלק מהדגמים הנמצאים באוסף גטינגן. יתר על כן, את הקווים המסתוריים שמסמנים משטחים אלה לבסוף הסבירו! הפרק על קינמטיקה כוללת דיון נחמד של קשרים והגיאומטריה של תצורות של נקודות ומוטות המחוברים ו, ​​אולי, מוגבלת בדרך כלשהי. נושא זה בגיאומטריה הפך חשוב יותר ויותר בתקופה האחרונה, במיוחד ביישומים לרובוטיקה. זו היא דוגמה נוספת במצב פשוט שמוביל לגיאומטריה עשירה. זה יהיה קשה להעריך את ההשפעה המתמשכת ספרו של הילברט-כהן-Vossen יש לו על מתמטיקאים של המאה הזו. זה בוודאי שייך ב" פנתיאון "של ספרי מתמטיקה גדולים.

סקירה

המתמטיקאי המוביל של המאה ה -20, דויד הילברט אהב לצטט "מתמטיקאי צרפתי עתיק" אומר "תאוריה מתמטית לא צריכה להיחשב שלם עד שעשית את זה כל כך ברור שאתה יכול להסביר את זה לאדם הראשון שאתה פוגש ב הרחוב ". על ידי ש סטנדרטי, ספר זה על ידי הילברט היה ראשון כדי להשלים כמה סניפים של גיאומטריה: למשל, גיאומטריה של מישור השלכתית ודואליות השלכתית, פאונים רגילים ב 4 ממדים, גיאומטריות אליפטי והיפרבולי לא אוקלידית, טופולוגיה של משטחים, קימורים בחלל, עקמומיות גאוסי של משטחים (במיוחד שעובדה שאתה לא יכול לכופף את כדור ללא מתיחת חלק ממנו, אבל אתה יכול אם יש רק חור אחד קטן ככל שיהיו), ואיך סריגים במטוס מתייחס למספר theory.It היא גיאומטריה יפה, יפה תוארה . מלבד נושאים חדשים יחסית שבטיפולו קלאסיקות כמו חרוטי חלקים, משטחים שלטו, קבוצות קריסטל, ופאונים ממדיים 3. בקנה אחד עם חשיבתו של הילברט, התוצאות ואת התיאורים יפים כי הם כל כך clear.More מזה, הספר הזה הוא מבט נגיש באופן הילברט ראה מתמטיקה. בהקדמתו משמיץ את "אמונה הטפלה שמתמטיקה היא אלא המשך ... של ג'אגלינג עם מספרים ". למרבה האירוניה, כמה אנשים היום יגידו לך מתמטיקת מחשבת הילברט דווקא השתעשעה עם סמלים רשמיים. זה חוסר הבנה של האסטרטגיה ההגיונית של הילברט של "פורמליזם" שהוא נוצר כדי להימנע מביקורת שונה של תורת קבוצות. ספר זה הוא פרי העטה היחידה שבי הילברט למעשה מיושם אסטרטגיה שעל ידי חלוקת הוכחות לחלקים אינטואיטיביים וinfinitary / הגדרה תיאורטית. לצד הוכחות יסודיות אינטואיטיביים רבות, הילברט נותן כמה אינטואיטיבי בהרחבה הוכחות שמחייבות גם חישוב מפורט עם קבוצות האינסופיות של אמיתי של מספרים מורכבים. במקרים אלה הילברט אומר "היינו להשתמש בניתוח כדי להראות ..." ואז הוא עוטף את ההוכחה מבלי לתת את החלק האנליטי בעצם.

אם אתה מוצא את זה נורא קל לספוג הילברט של התאוריה של שדות אלגבריים מספר וגם שיטות Hilbert ו Courant של פיסיקה מתמטית, אז כמובן שתקבלי מושג מלא יותר של המתמטיקה שלו על ידי קריאתם - אבל רק אם אתה מוצא את זה קל מאוד. הילברט עשה. והקלות שהן חלק מכיצד הוא רואה את הנושא. אני לא אומר שהוא מצא את התוצאות בקלות, אבל הוא אחז בן בקלות מצא פעם. ויהיה לך לקרוא את שניהם, והרבה יותר, לזכות ולראות את המבט שלו. לילברט את ההרצאות בגיאומטריה ובדמיון היו בין הכתרים של הקריירה שלו. הוא הראה את ההיקף הרחב של גיאומטריה ולבסוף השלים את ההוכחות האחרונות, תוצאות מתקדמות מכל רחביו. הוא גרם להם כל כך ברור שהוא יכול להסביר לך אותם או אותי.